Question

5．如图所示，正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，DE=CF，AF与BE相交于O，DG⊥AF，垂足为G．
（1）试探究直线AF与直线BE的位置关系是AF⊥BE；
（2）线段AO、BO、GO的长度之间的数量关系是BO=AO+OG；
（3）若OG：ED=4：5，求AE：AD的值．

Answer 1

分析 （1）由DE=CF及正方形的性质，得出AE=DF，AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，证明△ABE≌△DAF，得出∠ABE=∠DAF，而∠ABE+∠AEB=90°，利用互余关系得出∠AOE=90°即可；
（2）由（1）的结论可证△ABO≌△DAG，得BO=AG=AO+OG；
（3）过E点作EH⊥DG，垂足为H，则EH=OG，由DE=CF，GO：CF=4：5，得EH：ED=4：5，而AF⊥BE，AF⊥DG，则OE∥DG，∠AEB=∠EDH，△ABE∽△HED，利用相似比得出AB：BE，由勾股定理得出AE：AB，从而得出AE：AD．

解答 （1）证明：∵ABCD为正方形，且DE=CF，
∴AE=DF，AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，
在△ABE和△DAF，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}\\{AB=AD}\\{∠BAE=∠ADF=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠ABE=∠DAF，
又∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠DAF+∠AEB=90°，
∴∠AOE=90°，
即AF⊥BE；
故答案为：AF⊥BE；

（2）解：BO=AO+OG．
理由：由（1）的结论可知，
∠ABE=∠DAF，∠AOB=∠DGA=90°，AB=AD，
在△ABO和△DAG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠DAF}\\{∠AOB=∠DGA=90°}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△DAG，
∴BO=AG，
∵AG=AO+OG，
∴BO=AO+OG；
故答案为：BO=AO+OG；

（3）解：过E点作EH⊥DG，垂足为H，
由矩形的性质，得EH=OG，
∵DE=CF，GO：CF=4：5，∴EH：ED=4：5，
∵AF⊥BE，AF⊥DG，∴OE∥DG，
∴∠AEB=∠EDH，△ABE∽△HED，
∴AB：BE=EH：ED=4：5，
在Rt△ABE中，AE：AB=3：4，
故AE：AD=3：4．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质．关键是利用正方形的性质证明全等三角形，相似三角形，利用线段，角的关系解题．