Question

17．已知点D是BC的中点，E是线段AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）如图1，求证：AF=DC；
（2）如图2，连接AC，若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）可证明△AEF≌△DEB，可得到AF=BD，结合D为BC中点，可证明AF=DC；
（2）由（1）可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证明AD=CD，可证明四边形ADCF为菱形．

解答 （1）证明：∵AF∥BC，
∴∠EFA=∠EBD，
∵E为AD中点，
∴AE=ED，
在△AEF和△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFA=∠EBD}\\{∠AEF=∠DEB}\\{AE=DE}\end{array}\right.$
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=BD，
∵D为BC中点，
∴BD=CD，
∴AF=DC；
（2）解：四边形ADCF为菱形，证明如下：
由（1）可知AF=DC，且AF∥DC，
∴四边形ADCF为平行四边形，
∵AC⊥AB，且D为BC中点，
∴AD=CD，
∴四边形ADCF为菱形．

点评 本题主要考查全等三角形判定和性质及平行四边形、菱形的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．