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【题目】如图,反比例函数y= (k≠0,x>0)的图像与直线y=3x相交于点C,过直线上点A(1,3)作AB⊥x轴于点B,交反比例函数图像于点D,且AB=3BD.
(1)求k的值;
(2)求点C的坐标;
(3)在y轴上确定一点M,使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小,求点M的坐标.

【答案】
(1)解:∵A(1,3),

∴AB=3,OB=1,

∵AB=3BD,

∴BD=1,

∴D(1,1)

将D坐标代入反比例解析式得:k=1


(2)解:由(1)知,k=1,

∴反比例函数的解析式为;y=

解:

解得:

∵x>0,

∴C(


(3)解:如图,作C关于y轴的对称点C′,连接C′D交y轴于M,

则d=MC+MD最小,

∴C′(﹣ ),

设直线C′D的解析式为:y=kx+b,

,∴

∴y=(3﹣2 )x+2 ﹣2,

当x=0时,y=2 ﹣2,

∴M(0,2 ﹣2).


【解析】(1)根据A坐标,以及AB=3BD求出D坐标,代入反比例解析式求出k的值;(2)直线y=3x与反比例解析式联立方程组即可求出点C坐标;(3)作C关于y轴的对称点C′,连接C′D交y轴于M,则d=MC+MD最小,得到C′(﹣ ),求得直线C′D的解析式为y=﹣ x+1+ ,直线与y轴的交点即为所求.
【考点精析】解答此题的关键在于理解轴对称-最短路线问题的相关知识,掌握已知起点结点,求最短路径;与确定起点相反,已知终点结点,求最短路径;已知起点和终点,求两结点之间的最短路径;求图中所有最短路径.

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