Question

如图，CA=CB，CD=CE，D在CA上，∠ACB=∠DCE=90°，BD的延长线交AE于F．
（1）求证：
①BD=AE；
②BF⊥AE．
（2）求∠AFC的度数．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）①根据条件证明△BCD≌△ACE就可以得出结论；
②由△BCD≌△ACE就可以得出∠BDC=∠AEC，∠DBC=∠EAC，由∠ACB=90°，就可以得出∠DBC+∠AEC=90°，就可以得出∠BFE=90°，进而得出结论；
（2）由∠ACB=90°，BF⊥AE就可以得出A、B、C、F四点共圆，就有∠AFC与∠ABC互补，进而得出结论．

解答：解：（1）①在△BCD和△ACE中

BC=AC ∠ACB=∠DCE DC=EC

，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE；
②∵△BCD≌△ACE，
∴∠BDC=∠AEC，∠DBC=∠EAC．
∵∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠AEC=90°，
∴∠BFE=90°，
∴BF⊥AE；
（2）∵∠AFE=90°，
∴∠AFB=90°．
∵∠ACB=90°，
∴A、B、C、F四点共圆，
∴∠AFC+∠ABC=180°．
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∴∠AFC=135°．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，圆的内接四边形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．