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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A(1,0),B(3,0)两点,点P是抛物线上在第一象限内的一点,直线BP与y轴相交于点C.

(1)求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式;

(2)当点P是线段BC的中点时,求点P的坐标;

(3)在(2)的条件下,求sin∠OCB的值.

【答案】(1) y=﹣x2+4x﹣3;(2) P的坐标为();(3) .

【解析】分析:(1)将点AB代入抛物线y=-x2+ax+b,解得ab可得解析式;

(2)由C点横坐标为0可得P点横坐标,将P点横坐标代入(1)中抛物线解析式,易得P点坐标;

(3)由P点的坐标可得C点坐标,ABC的坐标,利用勾股定理可得BC长,利用sin∠OCB=可得结果.

详解:(1)将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b可得,

解得,a=4,b=﹣3,

∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+4x﹣3;

(2)∵点Cy轴上,

所以C点横坐标x=0,

∵点P是线段BC的中点,

∴点P横坐标xP==

∵点P在抛物线y=﹣x2+4x﹣3上,

yP=﹣3=

∴点P的坐标为();

(3)∵点P的坐标为(),点P是线段BC的中点,

∴点C的纵坐标为﹣0=

∴点C的坐标为(0,),

BC==

sinOCB===

点睛:本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式,二次函数图像与性质,解直角三角形,勾股定理,利用中点求得点P的坐标是解答此题的关键.

型】解答
束】
24

【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC是⊙O的直径,∠ABC=30°,过点B作⊙O的切线BD,与CA的延长线交于点D,与半径AO的延长线交于点E,过点A作⊙O的切线AF,与直径BC的延长线交于点F.

(1)求证:△ACF∽△DAE;

(2)若S△AOC=,求DE的长;

(3)连接EF,求证:EF是⊙O的切线.

【答案】(1) 见解析; (2)3 ;(3)见解析.

【解析】试题分析:(1)根据圆周角定理得到BAC=90°,根据三角形的内角和得到ACB=60°根据切线的性质得到OAF=90°,∠DBC=90°,于是得到D=∠AFC=30°由相似三角形的判定定理即可得到结论;

(2)根据SAOC=,得到SACF=,通过ACF∽△DAE,求得SDAE=,过AAHDEH,解直角三角形得到AH=DH=DE,由三角形的面积公式列方程即可得到结论;

(3)根据全等三角形的性质得到OE=OF,根据等腰三角形的性质得到OFG=(180°﹣∠EOF)=30°,于是得到AFO=∠GFO,过OOGEFG,根据全等三角形的性质得到OG=OA,即可得到结论.

试题解析:(1)证明:BCO的直径,∴∠BAC=90°,∵∠ABC=30°,∴∠ACB=60°

OA=OC,∴∠AOC=60°,∵AFO的切线,∴∠OAF=90°,∴∠AFC=30°,∵DEO的切线,∴∠DBC=90°,∴∠D=∠AFC=30,∵∠DAE=ACF=120°,∴△ACF∽△DAE

(2)∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60°,∴∠CAF=30°,∴∠CAF=∠AFC,∴AC=CF,∴OC=CF,∵SAOC=,∴SACF=,∵∠ABC=∠AFC=30°,∴AB=AF,∵AB=BD,∴AF=BD,∴∠BAE=∠BEA=30°,∴AB=BE=AF,∴,∵△ACF∽△DAE,∴=,∴SDAE=,过AAHDEH,∴AH=DH=DE,∴SADE=DEAH=×=,∴DE=

(3)∵∠EOF=∠AOB=120°,∴∠OEB=∠AFOAOFBOE中,∵∠OBE=∠OAF,∠OEB=∠AFOOA=OB,∴△AOF≌△BEO,∴OE=OF,∴∠OFG=(180°﹣∠EOF)=30°,∴∠AFO=∠GFO,过OOGEFG,∴∠OAF=∠OGF=90°,在AOFOGF中,∵∠OAF=∠OGF,∠AFO=∠GFOOF=OF,∴△AOF≌△GOF,∴OG=OA,∴EFO的切线.

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购票人数

1-50人

51-100人

100人以上

每人门票数

13元

11元

9元

实验学校初二(1)、二(2)两个班的学生共104人去公园游玩,其中二(1)班的人数不到50人,二(2)班的人数有50多人,经估算,如果两个班都以班为单位分别购票,则一共应付1240元,如果两班联合起来,作为一个团体购票,则可节省不少钱,你能否求出两个班共有多少名学生联合起来购票能省多少钱?

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