Question

16．如图，点P₁（x₁，y₁），点P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃）都在函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃，都是等腰直角三角形，斜边OA₃，A₁A₂，A₂A₃都在x轴上，已知点P₁的坐标为（1，1），则点P₃的坐标为（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 作P₁B⊥x轴于B，作P₂C⊥x轴于C，作P₃E⊥x轴于E，如图，根据等腰直角三角形的性质得OB=A₁B=P₁B，DA₁=DA₂=P₂D，EA₂=EA₃=P₃E，设DA₁=DA₂=P₂D=a，EA₂=EA₃=P₃E=b，利用反比例函数图象上点的坐标特征可计算出k=1，易得OA₁=2，则OD=2+a，所以P₂（2+a，a），利用反比例函数图象上点的坐标特征得到a（2+a）=1，解得a=$\sqrt{2}$-1或a=-$\sqrt{2}$-1（舍去），则OA₂=2$\sqrt{2}$，所以P₃（2$\sqrt{2}$+b，b），接着再利用反比例函数图象上点的坐标特征得到b（2$\sqrt{2}$+b）=1，解得b=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$或b=-$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$（舍去），从而可确定点P₃的坐标．

解答 解：作P₁B⊥x轴于B，作P₂C⊥x轴于C，作P₃E⊥x轴于E，如图，
∵△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃，都是等腰直角三角形，
∴OB=A₁B=P₁B，DA₁=DA₂=P₂D，EA₂=EA₃=P₃E，
设DA₁=DA₂=P₂D=a，EA₂=EA₃=P₃E=b，
∵点P₁的坐标为（1，1），
∴k=1×1=1，OA₁=2，
则OD=2+a，
∴P₂（2+a，a），
∴a（2+a）=1，
整理得a²+2a-1=0，解得a=$\sqrt{2}$-1或a=-$\sqrt{2}$-1（舍去），
∴OA₂=2+2（$\sqrt{2}$-1）=2$\sqrt{2}$，
∴P₃（2$\sqrt{2}$+b，b），
∴b（2$\sqrt{2}$+b）=1，
整理得b²+2$\sqrt{2}$b-1=0，解得b=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$或b=-$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$（舍去），
∴点P₃的坐标为（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）．
故答案为（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了等腰直角三角形的性质．