Question

【题目】如图1，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点为E（点E在点P右侧），连结DE、BE，已知AB＝3，BC＝6．

（1）求线段BE的长；

（2）如图2，若BP平分∠ABC，求∠BDE的正切值；

（3）是否存在点P，使得△BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）BE＝；（2）tan∠BDE＝3；（3）符合条件的CP的长为3﹣3或或．

【解析】

（1）求出AC＝3，由三角形ABC的面积可求出BE的长；

（2）连接DP，证明△CPD∽△CAB，得出＝2，设DP＝BD＝x，则CD＝2x，由CB＝3x＝6，得出x＝2，根据tan∠BDE＝tan∠BPE可得出答案；

（3）分三种情况，求出CP＝CD，求出CD，可得出答案．

解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝6，

∴AC＝＝＝3，

∵BP为⊙O的直径，

∴∠BEP＝90°，

∴BE⊥AC，

∵S△ABC＝×AB×AC，

∴BE＝；

（2）∵BP平分∠ABC，

∴∠DBP＝∠ABC＝45°，

连接DP，如图1，

∵BP为⊙O的直径，

∴∠DBP＝∠DPB＝45°，

∴可设DP＝BD＝x，

∵∠CDP＝∠ABC＝90°

∴PD∥AB，

∴△CPD∽△CAB，

∴＝2，

∴CD＝2x，

∴CB＝3x＝6，

∴x＝2，

∴DP＝BD＝2，CD＝4，

∴CP＝＝＝2，

∴CE＝＝＝，

∴tan∠BDE＝ tan∠BPE＝＝＝3．

（3）解：存在这样的点P．

由△DCP∽△BCA，得，，

∴CP＝CD，

若△BDE是等腰三角形，可分三种情况：

①当BD＝BE时，BD＝BE＝，

∴CD＝BC﹣BD＝6﹣，

∴CP＝＝3﹣3．

②当BD＝DE时，此时点D是Rt△CBE斜边的中点，

∴CD＝BC＝3，

∴CP＝；

③当DE＝BE时，作EH⊥BC于点H，则H是BD的中点，

∵∠ABC＝∠EHC＝90°，

∴EH∥AB，

∴，

又∵AE＝AC﹣CE＝3﹣＝，

∴BH＝DH＝＝，

∴CD＝6﹣＝，

∴CP＝．

综上所述，△BDE是等腰三角形，符合条件的CP的长为3﹣3或或．