Question

【题目】综合与实践

情景再现

我们动手操作：把正方形ABCD，从对角线剪开就分剪出两个等腰直角三角形，把其中一个等腰三角形与正方形ABCD重新组合在一起，图形变得丰富起来，当图形旋转时问题也随旋转应运而生．

如图①把正方形ABCD沿对角线剪开，得两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，

（1）问题呈现

我们把剪下的两个三角形一个放大另一个缩小拼成如图②所示

①点P是一动点，若AB=3，PA=1，当点P位于_ __时，线段PB的值最小；若AB=3，PA=5，当点P位于__ _时，线段PB有最大值．PB的最大值和最小值分别是______．

②直接写出线段AE与DB的关系是_ ________．

（2）我们把剪下的其中一个三角形放大与正方形组合如图③所示，点E在直线BC上，FM⊥CD交直线CD于M．

①当点E在BC上时，通过观察、思考易证：AD=MF+CE；

②当点E在BC的延长线时，如图④所示；

当点E在CB的延长线上时，如图⑤所示，

线段AD、MF、CE具有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择图④或图⑤证明你的猜想．

问题拓展

（3）连接EM，当=8，=50，其他条件不变，直接写出线段CE的长_______．

Answer 1

【答案】（1）①AB，BA延长线，最大值是8，最小值是2；；②AE=BD，AE⊥BD；

（2）选择图④，则AD+CE=MF.见详解；

（3）1或7.

【解析】

（1）①P为一动点，PA=1，则点P在以A为圆心，以1为半径圆上，画图的解；同理PA=5，则点P在以A为圆心，以5为半径圆上，问题得解；②△ACE≌△DCB，问题得解；

（2）类比①；通过添加辅助线FG⊥BE，交BE延长线于G，证明△ABE≌△EGF，进行线段转移，得出结论；

（3）已知=8，通过三角形面积公式，求出CF=4，△AEF为等腰直角三角形，=50，得出EF=5，勾股定理得EG=3，计算得出结果.

解：（1）①AB；BA延长线；最大值是8，最小值是2；

②AE=BD，AE⊥BD；

证明：如图，∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，

∴AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠BCE=90°，

∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠BCE，

即：∠ACE=∠DCB，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=BD，∠AEC=∠DBC，

∵∠BFC+∠DBC=90°，∠BFC=∠EFD,

∴∠AEC+∠EFD=90°

∴AE⊥BD

（2）②答：选择图④，则AD+CE=MF.

证明：如图，作FG⊥BE，交BE延长线于G，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=∠MCG=∠G==90°，AD=AB=BC，

∴∠BAE+∠AEB=90°.

∵△AEF为等腰直角三角形，

∴AE=EF，∠AEF=90°，

∴∠AEB+∠GEF=90°，

∴∠BAE=∠GEF，

∴△ABE≌△EGF，

∴AB=EG

∵ AB=BC，

∴EG=BC，

∴EG+CE=BC+CE，

即：CG=BC+CE=AD+CE.

∵∠G=∠MCG=90°，FM⊥CD，

∴四边形CMFG为矩形，

∴MF=CG，

∴AD+CE=MF

（3）∵CG=BC+CE=FG，四边形CMFG为矩形，

∴四边形CMFG为正方形，

∵，

∴

∴FG=4

∵=50，△AEF为等腰直角三角形，

∴EF=5,

∴在直角△EFG中，EG=3，

∴CE=CG-EG=4-3=1或CE=CG+EG=4+3=7 .