Question

【题目】如图，正方形纸片ABCD，P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH．BH交EF于点M，连接PM．下列结论：①BE=PE；②EF=BP；③PB平分∠APG；④MH=MF；⑤BP=BM，其中正确结论的个数是（　　）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

Answer 1

【答案】B

【解析】

①③利用正方形的性质、翻折不变性即可解决问题；
②构造全等三角形即可解决问题；
④利用特殊位置，判定结论即可；
⑤只要证明△PBM是等腰直角三角形即可解决问题；

如图1，

根据翻折不变性可知：PE=BE，
∴∠EBP=∠EPB．
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．
即∠PBC=∠BPH．
又∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．故①③正确；
如图1中，作FK⊥AB于K．设EF交BP于O．

∵∠FKB=∠KBC=∠C=90°，
∴四边形BCFK是矩形，
∴KC=BC=AB，
∵EF⊥PB，
∴∠BOE=90°，
∵∠ABP+∠BEO=90°，∠BEO+∠EFK=90°，
∴∠ABP=∠EFK，∵∠A=∠EKF=90°，
∴△ABP≌△KFE（ASA），
∴EF=BP，故②正确，
如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．

由（1）知∠APB=∠BPH，
在△ABP和△QBP中，
，
∴△ABP≌△QBP（AAS）．
∴AP=QP，AB=BQ．
又∵AB=BC，
∴BC=BQ．
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，
∴△BCH≌△BQH（HL）
∴∠QBH=∠HBC，∠ABP=∠PBQ，
∴∠PBH=∠PBQ+∠QBH=∠ABC=45°，
∵MP=MB，
∴△PBM是等腰直角三角形，
∴PB=BM，故⑤正确；
当等P与A重合时，显然MH＞MF，故④错误，
故选：B．