【题目】已知:如图,在梯形ABCD中,CD∥AB,∠DAB=90°,对角线AC、BD相交于点E,AC⊥BC,垂足为点C,且BC2=CECA.
(1)求证:AD=DE;
(2)过点D作AC的垂线,交AC于点F,求证:CE2=AEAF.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)根据相似三角形的判定定理得到△BCE∽△ACB,根据相似三角形的性质得到∠CBE=∠CAB,根据等角的余角相等得到∠BEC=∠DAE,根据等腰三角形的判定定理证明;
(2)根据平行线分线段成比例定理得到,,得到,整理得到CE2=AEEF,根据等腰三角形的三线合一得到AF=EF,证明结论.
证明:(1)∵BC2=CECA,
∴,又∠ECB=∠BCA,
∴△BCE∽△ACB,
∴∠CBE=∠CAB,
∵AC⊥BC,∠DAB=90°,
∴∠BEC+∠CBE=90°,∠DAE+∠CAB=90°,
∴∠BEC=∠DAE,
∵∠BEC=∠DEA,
∴∠DAE=∠DEA,
∴AD=DE;
(2)过点D作AC的垂线,交AC于点F,如图,
∵DF⊥AC,AC⊥BC,
∴∠DFE=∠BCA=90°,
∴DF∥BC,
∴,
∵DC∥AB,
∴,
∴,
∴CE2=AEEF,
∵AD=DE,DF⊥AC,
∴AF=EF,
∴CE2=AEAF.
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【题目】在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣x+b的图象与反比例函数y=(k≠0)图象交于A、B两点,与y轴交于点C,与x轴交于点D,其中A点坐标为(﹣2,3).
(1)求一次函数和反比例函数解析式.
(2)若将点C沿y轴向下平移4个单位长度至点F,连接AF、BF,求△ABF的面积.
(3)根据图象,直接写出不等式﹣x+b>的解集.
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【题目】已知⊙O的半径为10,圆心O到弦AB的距离为5,则弦AB所对的圆周角的度数是( )
A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°
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【题目】四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相平分.添加下列条件,一定能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A.∠ABD=∠BDCB.∠ABD=∠BACC.∠ABD=∠CBDD.∠ABD=∠BCA
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,M、N分别是边AD、BC边上的中点,且△ABM≌△DCM;E、F分别是线段BM、CM的中点.
(1)求证:平行四边形ABCD是矩形.
(2)求证:EF与MN互相垂直.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和.
求一次函数和反比例函数的表达式;
请直接写出时,x的取值范围;
过点B作轴,于点D,点C是直线BE上一点,若,求点C的坐标.
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【题目】已知二次函数的图像如图所示,对称轴是直线x=1,下列结论中:①abc>0,②2a+b=0,③<0,④4a+2b+c>0,其中正确的是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④
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