Question

6．如图，已知抛物线y=ax²+bx-5（a≠0）与x轴交于点A（1，0）及点B，对称轴为直线x=3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为线段BC上一个动点，过点P作x轴垂线，交抛物线于点Q，当点P的坐标是多少时，线段PQ的长最大？这个最大值是多少？
（3）若抛物线的顶点为M，求△BCM的面积S值．

Answer 1

分析 （1）根据题意将（1，0），x=3代入函数解析式进而得出答案；
（2）首先求出直线BC的解析，进而表示出P，Q点坐标，进而利用二次函数最值求法答案；
（3）根据题意利用△BCM的面积S=S_△BMN+S_△CMN，进而求出答案．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-5（a≠0）与x轴交于点A（1，0）及点B，对称轴为直线x=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b-5=0}\\{-\frac{b}{2a}=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$．
故抛物线的解析式为：y=-x²+6x-5；

（2）如图所示：当x=0可得，y=-5，则C（0，-5），
当y=0，则0=-x²+6x-5，
解得：x₁=1，x₂=5，
故B（5，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+c，
则$\left\{\begin{array}{l}{5k+c=0}\\{c=-5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{c=-5}\end{array}\right.$，
故直线BC的解析式为：y=x-5，
设P（x，x-5），Q（x，-x²+6x-5），
故PQ=-x²+6x-5-（x-5）
=-x²+5x
=-（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
当x=$\frac{5}{2}$，x-5=-$\frac{5}{2}$，
即当点P的坐标，（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{2}$）时，线段PQ的长最大，这个最大值是$\frac{25}{4}$；

（3）如图所示：当M点为抛物线顶点坐标，则x=3时，y=-x²+6x-5=-9+18-5=4，
即M（3，4），
当x=3，则x-5=-2，
即N（3，-2），
故MN=4-（-2）=6，
故△BCM的面积S=S_△BMN+S_△CMN=$\frac{1}{2}$MN•（5-3）+$\frac{1}{2}$×MN×3=$\frac{1}{2}$MN×5=15．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及二次函数最值求法和图形面积求法等知识，正确表示出Q，P点坐标是解题关键．