Question

11．阅读下列材料：解答“试求二次函数y=-x²+3x-2的最大值”有如下解法．
解∵y=-x²+3x-2，∴x²-3x+2+y=0．①
∵方程①有实数根，∴△=（-3）²-4（2+y）≥0，∴y≤$\frac{1}{4}$，∴二次函数y=-x²+3x-2的最大值为$\frac{1}{4}$．
请按照上述方法，完成下列问题．
（1）试求二次三项式2x²+4x+5的最小值；
（2）已知x，y是实数，且y=$\sqrt{-2{x}^{2}+4x+3}$+1，求y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令y=2x²+4x+5，则2x²+4x+5-y=0，然后根据△≥0，求出y的取值范围，即可求出二次三项式2x²+4x+5的最小值是多少．
（2）令m=-2x²+4x+3，则2x²-4x+m-3=0，然后根据△≥0，求出m的取值范围，即可求出y的取值范围．

解答 解：（1）令y=2x²+4x+5，
则2x²+4x+5-y=0，
∵2x²+4x+5-y=0有实数根，
∴△=4²-4×2×（5-y）≥0，
∴y≥3，
∴二次三项式2x²+4x+5的最小值是3．

（2）令m=-2x²+4x+3，
则m≥0，
∴2x²-4x+m-3=0，
∵2x²-4x+m-3=0有实数根，
∴△=4²-4×2×（m-3）≥0，
∴m≤5，
又∵m≥0，
∴0≤m≤5，
∴1≤$\sqrt{-2{x}^{2}+4x+3}$+1≤$\sqrt{5}$+1，
∴y的取值范围是：
1≤y≤$\sqrt{5}$+1．

点评 此题主要考查了二次函数的最值的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．