Question

【题目】如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N．

（1）求证：OM=AN；
（2）若⊙O的半径R=3，PA=9，求OM的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，连接OA，则OA⊥AP，

∵MN⊥AP，

∴MN∥OA，

∵OM∥AP，

∴四边形ANMO是矩形，

∴OM=AN

（2）解：连接OB，则OB⊥BP

∵OA=MN，OA=OB，OM∥AP．

∴OB=MN，∠OMB=∠NPM．

∴Rt△OBM≌Rt△MNP，

∴OM=MP．

设OM=x，则NP=9﹣x，

在Rt△MNP中，有x2=32+（9﹣x）2

∴x=5，即OM=5

【解析】（1）先通过作辅助线证明四边形ANMO是矩形再由即矩形性质可解决问题；
（2）先证明Rt△OBM≌Rt△MNP得到 OM=MP，再设OM=x，则NP=9-x，由勾股定理列方程再方程即可.