Question

【题目】如图，已知BD⊥AB于点B，AC⊥AB于点A，且BD＝3，AC＝2，AB＝m，在线段AB上找一点E，使△BDE与△ACE相似，若这样的点E有且只有两个，则m的值是______

Answer 1

【答案】5或2

【解析】

当∠ACE＝∠BDE时，△ACE∽△BDE，得出，AE＝BE①，当ACE＝∠BED时，△ACE∽△BED，得出，即AE×BE＝AC×BD＝6②，由①②得出BE2＝6，解得BE＝3，AE＝2，得出m＝5；当AE＝2时，BE＝3，两个三角形相似；当AE＝3时，BE＝2，两个三角形全等，符合题目要求；设AE＝x，则BE＝m﹣x，得出x：3＝2：（m﹣x），整理得x2﹣mx+6＝0，方程有唯一解时，△＝m2﹣24＝0，解得m＝，当m＝时，AE：BE＝2：3时，两个三角形相似；AE＝BE＝时，两个三角形相似；同样是两个点可以满足要求；即可得出答案．

解：∵BD⊥AB于点B，AC⊥AB，

∴∠A＝∠B＝90°，

当∠ACE＝∠BDE时，△ACE∽△BDE，

∴，

∴AE＝BE①，

当ACE＝∠BED时，△ACE∽△BED，

∴，即AE×BE＝AC×BD＝2×3＝6②，

由①②得：BE2＝6，

解得：BE＝3，

∴AE＝2，

∴AB＝AE+BE＝5，即m＝5；

当AE＝2时，BE＝3，两个三角形相似；

当AE＝3时，BE＝2，两个三角形全等，符合题目要求；

设AE＝x，则BE＝m﹣x，

∴x：3＝2：（m﹣x），

整理得：x2﹣mx+6＝0，

方程有唯一解时，△＝m2﹣24＝0，

解得：m＝±（负值舍去），

∴m＝；

当m＝时，

AE：BE＝2：3时，两个三角形相似；

AE＝BE＝时，两个三角形相似；同样是两个点可以满足要求；

综上所述，△BDE与△ACE相似，若这样的点E有且只有两个，则m的值是5或；

故答案为：5或．