Question

【题目】如图，∠MON=60°，OF平分∠MON，点A在射线OM上， P，Q是射线ON上的两动点，点P在点Q的左侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交OM，OF，ON于点D，B，C，连接AB，PB．

（1）依题意补全图形；

（2）判断线段 AB，PB之间的数量关系，并证明；

（3）连接AP，设，当P和Q两点都在射线ON上移动时，是否存在最小值？若存在，请直接写出的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）补全图形见解析； （2）AB=PB．证明见解析；（3）存在，．

【解析】

（1）根据题意补全图形如图1，
（2）结论：AB=PB．连接BQ，只要证明△AOB≌△PQB即可解决问题；
（3）连接BQ．只要证明△ABP∽△OBQ，即可推出 ，由∠AOB=30°，推出当BA⊥OM时， 的值最小，最小值为 ，由此即可解决问题．

解：（1）如图1，

（2）AB=PB．

证明：如图，连接BQ．

∵BC的垂直平分OQ，

∴ OB =BQ，

∴∠BOP=∠BQP．

又∵ OF平分∠MON，

∴∠AOB = ∠BOP．

∴∠AOB = ∠BQP．

又∵PQ=OA，

∴ △AOB≌△PQB，

∴AB=PB．

（3））∵△AOB≌△PQB，
∴∠OAB=∠BPQ，
∵∠OPB+∠BPQ=180°，
∴∠OAB+∠OPB=180°，∠AOP+∠ABP=180°，
∵∠MON=60°，
∴∠ABP=120°，
∵BA=BP，
∴∠BAP=∠BPA=30°，
∵BO=BQ，
∴∠BOQ=∠BQO=30°，
∴△ABP∽△OBQ，
∴，
∵∠AOB=30°，
∴当BA⊥OM时，的值最小，最小值为，
∴k=．