Question

如图，已知点A是线段OB的垂直平分线上一点，AN⊥ON，BO⊥ON，P为ON上一点，∠OPB=∠OAB．
（1）若∠AOB=60°，PB=4，则OP=

 

；
（2）在（1）的条件下，求证：PA+PO=PB；
（3）如图②，若ON=5，求出PO+PB的值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,等边三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）易证△AOB是等边三角形，从而可得∠OPB=∠OAB=60°，即可得到∠OBP=30°，然后根据30°角所得的直角边等于斜边的一半即可求出OP的值；
（2）如图①，由（1）可得OB=AB，∠ABP=∠OBP=30°，从而可证到△OBP≌△ABP，则有OP=AP=2，即可证到PA+PO=4=PB；
（3）延长ON、BA交于点D，如图②．由AO=AB，∠DOB=90°可证到∠D=∠AOD，从而可得AD=AO，由AN⊥OD可得DN=ON=5，由∠OPB=∠OAB可得∠AOD=∠PBD，从而得到∠D=∠PBD，则有PD=PB，即可得到PO+PB=PO+PD=OD=10．

解答：解：（1）∵点A是线段OB的垂直平分线上一点，
∴AO=AB．
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB，∠OAB=∠ABO=60°．
∴∠OPB=∠OAB=60°．
∵BO⊥ON，即∠POB=90°，
∴∠OBP=30°，
∴OP=

1

2

PB=

1

2

×4=2．
故答案为2；

（2）证明：如图①，
由（1）得OB=AB，∠OAB=∠ABO=60°，∠OBP=30°，
∴∠ABP=∠ABO-∠OBP=30°=∠OBP．
在△OBP和△ABP中，

OB=AB ∠OBP=∠ABP BP=BP

，
∴△OBP≌△ABP（SAS），
∴OP=AP=2，
∴PA+PO=4=PB；

（3）延长ON、BA交于点D，如图②．
∵AO=AB，∴∠AOB=∠ABO．
∵∠DOB=90°，
∴∠D+∠OBD=90°，∠AOD+∠BOA=90°，
∴∠D=∠AOD，
∴AD=AO．
∵AN⊥OD，
∴DN=ON=5．
∵∠OPB=∠OAB，
∴∠AOD=∠PBD，
∴∠D=∠PBD，
∴PD=PB，
∴PO+PB=PO+PD=OD=10．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、30°角所得的直角边等于斜边的一半、等角的余角相等等知识，证到△OBP≌△ABP是解决第（2）小题的关键，通过添加适当的辅助线将PO+PB转化为线段OD是解决第（3）小题的关键．