Question

9．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，AB=3，CD=2，AD=7，在AD上是否存在点P，使△ABP与△DCP相似？如果存在，求出DP的值；如果不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 设DP=x，则AP=7-x，利用平行线的性质得∠D=∠A=90°，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当$\frac{CD}{AB}$=$\frac{DP}{AP}$时，△DCP∽△ABP，即$\frac{2}{3}$=$\frac{x}{7-x}$；当$\frac{CD}{AP}$=$\frac{DP}{AB}$时，△DCP∽△APB，即$\frac{CD}{AP}$=$\frac{DP}{AB}$，即$\frac{2}{7-x}$=$\frac{x}{3}$，然后分别解方程求出x即可得到DP的长．

解答 解：存在．
设DP=x，则AP=7-x，
∵AB∥DC，
∴∠D=∠A=90°，
当$\frac{CD}{AB}$=$\frac{DP}{AP}$时，△DCP∽△ABP，即$\frac{2}{3}$=$\frac{x}{7-x}$，解得x=$\frac{14}{5}$；
当$\frac{CD}{AP}$=$\frac{DP}{AB}$时，△DCP∽△APB，即$\frac{CD}{AP}$=$\frac{DP}{AB}$，即$\frac{2}{7-x}$=$\frac{x}{3}$，整理得x²-7x+6=0，解得x₁=1，x₂=6．
综上所述，当DP为$\frac{14}{5}$或1或6时，△ABP与△DCP相似．

点评 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．运用分类讨论的思想是解决此题的关键．