Question

20．如图所示，
（1）点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，试探索∠A与∠P之间的关系．
（2）点P是∠ABC和∠ACD的平分线的交点，试探索∠A与∠P之间的关系．
（3）点P是外角∠CBF和外角∠BCE的角平分线的交点，试探究△A与∠P之间的关系．

Answer 1

分析 （1）三角形的内角和为180°，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠P=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），从而得证；
（2）根据角平分线的定义可得∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCE=$\frac{1}{2}$∠ACE，由外角的性质可得∠ACE=∠ABC+∠A，∠PCE=∠PBC+∠P，等量代换求出结果；
（3）根据三角形外角平分线的性质可得∠BCP=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）、∠PBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB）；根据三角形内角和定理可得∠P=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

解答 解：（1）∵P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠P=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-90°+$\frac{1}{2}$∠A=90°+$\frac{1}{2}$∠A；

（2）∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCE=$\frac{1}{2}$∠ACE，
∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△BPC的外角，
∴∠ACE=∠ABC+∠A，∠PCE=∠PBC+∠P，
∴$\frac{1}{2}$∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠A，
∴$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠A=∠PBC+∠P，
∠P=$\frac{1}{2}∠A$；

（3））∠BPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，
∴∠BCP=$\frac{1}{2}$∠BCE=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），∠PBC=$\frac{1}{2}∠CBF$=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得：
∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC
=180°-$\frac{1}{2}$[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]
=180°-$\frac{1}{2}$（∠A+180°）
=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

点评 本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答此题的关键是沟通外角和内角的关系．