【题目】尝试探究
如图-,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,点E、F分别是BC、AC边上的点,且EF//BC.
的值为 ;直线与直线的位置关系为 ;
类比延伸
如图,若将图中的绕点顺时针旋转,连接,则在旋转的过程中,请判断的值及直线与直线的位置关系,并说明理由;
拓展运用
若,在旋转过程中,当三点在同一直线上时,请直接写出此时线段的长.
【答案】 ; ; ;(3)或
【解析】
(1)①根据直角三角形30°角的性质即可解决问题;
②根据已知可直接得出答案;
(2)只要证明△ACF△BCE,根据相似三角形的性质即可得的值,也可得∠BCE=∠CAF,继而推导即可得;
(3)分两种情况画出图形分别解决即可.
①∵在△ABC中,∠ABC=90°,∠A=30°,EF//AB,
∴∠CFE=∠A=30°,
∴CF==EC,AC==BC,
∴AF=AC-CF=BC-EC=(BC-EC)=BE,
∴=,
故答案为:;
②∵∠ACB=90°,
∴,即直线与直线的位置关系为垂直,
故答案为:;
,
理由如下:由及旋转的性质知,,
在中,,
在中,,
,又,
,,
∴=
,
,
如图,延长交于点,交于点,
,,
,,
,,
即;
①如图,∵△ECB∽△FCA,∴AF:BE=CF:CE=,
设BE=a,则AF=a,
∵B、E、F共线,∴∠BEC=∠AFC=120°,
∵∠EFC=30°,∴∠AFB=90°,
在Rt△ABF中,AB=2BC=6,AF=a,BF=EF+BE=4+a,
∴,
∴a=-1+或-1-(舍去),
∴AF=a=;
②如图,当E、B、F共线时,同法可证:AF=BE,∠AFB=90°,
在Rt△ABF中,,
∴a=1+或1-(舍去),
∴AF=a=,
综上,AF的长为或.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,﹣4).
(1)请在图中,画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1;
(2)以点O为位似中心,将△ABC缩小为原来的,得到△A2B2C2,请在图中y轴右侧,画出△A2B2C2,并求出∠A2C2B2的正弦值.
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【题目】如图,在菱形中,,按以下步骤作图:①分别以点和点为圆心,为圆心,大于号的长为半径面狐,两弧交于点,:②做直线,且恰好经过点,与交于点,连接,则的值为( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,在菱形中,,按以下步骤作图:①分别以点和点为圆心,为圆心,大于号的长为半径面狐,两弧交于点,:②做直线,且恰好经过点,与交于点,连接,则的值为( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AD=5,AB=8,点E为DC上一个动点,把△ADE沿AE折叠,若点D的对应点D′,连接D′B,以下结论中:①D′B的最小值为3;②当DE=时,△ABD′是等腰三角形;③当DE=2是,△ABD′是直角三角形;④△ABD′不可能是等腰直角三角形;其中正确的有_____.(填上你认为正确结论的序号)
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【题目】我市某乡镇实施产业精准扶贫,帮助贫困户承包了若干亩土地种植新品草莓,已知该草莓的成本为每千克10元,草莓成熟后投入市场销售,经市场调查发现,草莓销售不会亏本,且每天的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间函数关系如图所示.
(1)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围.
(2)当该品种草莓的定价为多少时,每天销售获得利润最大?最大利润是多少?
(3)某村今年草莓采摘期限30天,预计产量6000千克,则按照(2)中的方式进行销售,能否销售完这批草莓?请说明理由.
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【题目】 某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况,随机抽取部分男同学进行了1000米跑测试.按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级.学校绘制了如下不完整的统计图.
(1)根据给出的信息,补全两幅统计图;
(2)该校九年级有600名男生,请估计成绩未达到良好有多少名?
(3)某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛,预赛分为A、B、C三组进行,选手由抽签确定分组.甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少?
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