Question

①若|a-1|+|a-2|有最小值；请写出这个最小值；此时，表示数a的点位于数轴的什么位置？
②你能猜出代数式|a-1|+|a-2|+|a-3|的最小值吗？请写出这个最小值；此时，表示数a的点位于数轴的什么位置？
③仿照①②，请你探究：当a在什么位置时，|a-1|+|a-2|+|a-3|+…|a-2010|+|a-2011|的值最小？最小值是多少？

Answer 1

考点：绝对值

专题：

分析：①分类讨论：当1＜a＜2或2＜a或a＜1时，分别去绝对值后合并即可；
②利用数轴得出当a取中间数，绝对值最小，
③由题意可得出，取中间值a=1006时，求得最小值．

解答：解：①当1＜a＜2时
原式化为a-1+2-a=1
当a＞2时
原式化为a-1+a-2=2a-3
当a＜1时
原式化为1-a+2-a=3-2a
综上有a=1为最小值；

②位于数轴的右方
画数轴可知，当a取中间数，绝对值最小，
故当a=2时，原式化为1+0+1=2最小，位于数轴右边；

③同理于②，取中间值a=1006，位于数轴右边，
求得最小值1005+1004+1003+…+1+0+1+2+3+…+1005=1005×（1005+1）=1011030．

点评：此题主要考查了绝对值的性质，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号、即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可．