Question

在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为△ABC的三边，已知a-b=2，b：c=3：5，且方程x²-2（k+1）x+k²-12=0两实根的平方和是△ABC斜边的平方，求k的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：

分析：由于a-b=2，b：c=3：5，利用勾股定理可求出c的值，然后根据根与系数的关系得出两个实数根的平方和，根据题意得到关于k的方程，从而可以求出k的值并验根．

解答：解：在△ABC中，∵∠C=90°，a-b=2，b：c=3：5，
∴设b=3k，则c=5k，
∴a=

c2-b2

=4k，
又∵a-b=2，
∴4k-3k=2，
解得k=2，
∴c=10．
不妨设原方程的两根为x₁，x₂，
由根与系数的关系得x₁+x₂=2（k+1），x₁x₂=k²-12，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4（k+1）²-2（k²-12）=2k²+8k+28，
由已知有：x₁²+x₂²=10²，
∴2k²+8k+28=10²=100，
解这个方程得k₁=-2+2

10

，k₂=-2-2

10

，
又∵方程有两个实数根，
∴△=4（k+1）²-4（k²-12）≥0，
∴k≥-6.5，
∴k=-2+2

10

．

点评：此题着重考查了根的判别式，根与系数的关系．在利用根与系数的关系解题时，要特别注意一定要利用根的判别式进行检验．