Question

如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连接AD，如图，先根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得到∠ADB=90°，然后根据等腰三角形的性质得到BD=CD；
（2）连接OD，易得OD为△ABC的中位线，根据三角形中位线定理得OD∥AC，由于DE⊥AC，根据平行线的性质得DE⊥OD，然后根据切线的判定定理即可得到
直线DE是⊙O的切线．

解答：证明：（1）连接AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
即D是BC的中点；

（2）连接OD，如图，
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和等腰三角形的性质．