Question

已知正方形ABCD与CEFG的边长分别为a、b，连结DE、AF．固定正方形ABCD，将正方形CEFG绕定点C逆时针旋转角度α度（0＜α＜180）．设DE=x，AF=y．
（1）若a=4cm，b=2cm，求旋转过程中y的取值范围；
（2）对于旋转角度为锐角和钝角两种情况，画出图象；
（3）探究y与x的函数关系式．

Answer 1

考点：旋转的性质,正方形的性质

专题：计算题

分析：（1）连接AC，CF，如图，根据正方形的性质得AC=4

2

cm，CF=2

2

cm，∠ACD=45°，∠GCF=45°，由于当α=90°时，C、F、A三点共线，此时AF最小，易得最小值=2

2

cm，当α=0°或180°时，AF最长，利用勾股定理可计算出AF=2

10

cm，于是得到旋转过程中y的取值范围为2

2

cm≤y＜2

10

cm；
（2）分两种情况画图；
（3）分类讨论：当0°＜α≤90°时，连接AC，CF，如图3，根据旋转的性质得∠DCE=90°-α，∠ACF=90°-α，则∠DCE=∠ACF，由于CD=a，AC=

2

a，CE=b，CF=

2

b，则

AC

CD

=

CF

CE

=

2

，则根据三角形相似的判定方法得到△ACF∽△DCE，所以

AF

DE

=

AC

CD

=

2

，即y=

2

x；对于当90°＜α＜180°时，同样可得y=

2

x．

解答：解：（1）连接AC，CF，如图，
∵正方形ABCD与CEFG的边长分别为a=4cm、b=2cm，
∴AC=4

2

cm，CF=2

2

cm，∠ACD=45°，∠GCF=45°，
当α=90°时，C、F、A三点共线，此时AF最小，最小值=4

2

cm-2

2

cm=2

2

cm，
当α=0°或180°时，AF最长，此时AF=

AC2+CF2

=2

10

（cm），
∴旋转过程中y的取值范围为2

2

cm≤y＜2

10

cm；
（2）当0°＜α≤90°时，如图1，
当90°＜α＜180°时，如图2；
（3）当0°＜α≤90°时，连接AC，CF，如图3，
∵正方形CEFG绕定点C逆时针旋转角度α度
∴∠DCE=90°-α，∠ACF=90°-α，
∴∠DCE=∠ACF，
∵CD=a，AC=

2

a，CE=b，CF=

2

b，
∴

AC

CD

=

CF

CE

=

2

，
∴△ACF∽△DCE，
∴

AF

DE

=

AC

CD

=

2

，
即

y

x

=

2

，
∴y=

2

x；
当90°＜α＜180°时，同样可得y=

2

x，
∴y与x的函数关系式为y=

2

x．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质．