Question

我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小．而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形．并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式 M、N的大小，只要作出它们的差M-N，若M-N＞0，则M＞N；若M-N=0，则M=N；若M-N＜0；则 M＜N．
问题解决：
如图．把边长为 a+b（a≠b）的大正方形分割成两个边长分别是 a、b 的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形的面积之和M与两个矩形面积之和N的大小．
类比应用：
已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为

a+b

2

元/千克、

2ab

a+b

元/千克（a•b是正数．且a≠b），试比较小丽和小颖所购商品的平均价格的高低．
联系拓广：
建筑业有一个规定，房屋的窗户面积应小于房屋的地面面积．按采光标准，窗户面积与地面面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户和地面面积．房屋的采光条件是变好了还是变坏了？请说明理由．

Answer 1

考点：分式的混合运算

专题：应用题

分析：问题解决：利用作差法比较M与N大小即可；
类比应用：分别表示出小丽与小颖购买商品的平均价格，比较即可；
联系拓广：变好了，设窗的面积为a，地面面积为b，增加的面积为x，表示出增加前与增加后的面积，比较即可得到结果．

解答：解：（1）根据题意得：M=a²+b²，N=ab+ab，
∵M-N=a²+b²-2ab=（a-b）²＞0，
∴M＞N；
（2）小丽的平均价格为

a+b

2

，小颖的平均价格为

2ab

a+b

，
∵

a+b

2

-

2ab

a+b

=

a2+b2+2ab-4ab

2(a+b)

=

(a-b)2

2(a+b)

＞0，
∴小丽比小颖的平均价格高；
（3）变好了，理由为：
设窗得面积为a，地面面积为b，增加得面积为x，且

a

b

≥10%，
根据题意得：

a

b

-

a+x

b+x

=

ab+ax-ab-bx

b(b+x)

=

x(a-b)

b(b+x)

，
∵b＞0，x＞0，∴b（b+x）＞0，
∵a＜b，即x（a-b）＜0，
则

a

b

＜

a+x

b+x

，即采光面积变好了．

点评：此题考查了分式的混合运算，弄清题意是解本题的关键．