Question

在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AE=

1

m

AB，DF=

1

n

DC，DE与AF相交于点G，GH⊥AB，垂足为H．试用m、n的代数式表示

AH

AB

的值．

Answer 1

考点：正方形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：延长HG交DC于点M，作FN∥HG交AB于点N，由△GAE∽△GFM，得出

DF

AE

=

DG

EG

，由△GHE∽△GHD，得出

DG

EG

=

MG

HG

，易得

DF

AE

=

MG

HG

，运用比例线段的性质得到

DF+AE

AE

=

MG+HG

HG

，即可得到

HG

NF

=

n

m+n

，根据

AH

AN

=

HG

NF

即可得出

AH

AB

=

1

m+n

．

解答：解：如图，延长HG交DC于点M，作FN∥HG交AB于点N，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，
∴△GAE∽△GFM，
∴

DF

AE

=

DG

EG

，
∵GH⊥AB，
∴△GHE∽△GHD，
∴

DG

EG

=

MG

HG

，
∴

DF

AE

=

MG

HG

，
∴

DF+AE

AE

=

MG+HG

HG

，即

1 n DC+ 1 m AB

1 m AB

=

BC

HG

，
∵AB=DC=BC=HM，
∴

m+n

n

=

NF

HG

，
∴

HG

NF

=

n

m+n

，
∵FN∥HG，
∴

AH

AN

=

HG

NF

，
∵AN=DF=

1

n

DC=

1

n

AB，
∴

AH

1 n AB

=

n

m+n

，
∴

AH

AB

=

1

m+n

．

点评：本题主要考查了正方形的性质及相似三角形的判定与性质，解题的关键是合理作出辅助线，运用三角形相似找出线段之间的关系．