Question

如图（1），MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上一点P，且PD=PB．

（1）求证：AB=CD；
（2）如图（2）若AB、CD相交于MN延长线上一点P，其他条件不变，则AB=CD还成立吗？请说明理由．

Answer 1

考点：圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系

专题：

分析：（1）先由相交弦定理得出PA•PB=PC•PD，而PD=PB，所以PA=PC，然后根据等式的性质即可证明AB=CD；
（2）先由切割线定理得出PB•PA=PD•PC，而PD=PB，所以PA=PC，然后根据等式的性质即可得出AB=CD．

解答：（1）证明：∵MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上一点P，
∴PA•PB=PC•PD，
∵PD=PB，
∴PA=PC，
∴PA+PB=PC+PD，
即AB=CD；

（2）解：AB=CD还成立．理由如下：
∵AB、CD相交于NM延长线上一点P，
∴PB•PA=PD•PC，
∵PD=PB，
∴PA=PC，
∴PA-PB=PC-PD，
即AB=CD．

点评：本题考查了相交弦定理，切割线定理以及等式的性质，得出PA=PC是解题的关键．