Question

【题目】如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，E是AC边上一点，⊙O过B、D、E三点，分别交AC、AB于点F、G，连接EG、BF分别与AD交于点M、N；

（1）求证：∠AMG＝∠BND；

（2）若点E为AC的中点，求证：BF＝BC；

（3）在（2）的条件下，作EH⊥EG交AD于点H，若EH＝EG＝4，过点G作GK⊥BF于点K，点P在线段GK上，点Q在线段BK上，连接BP、GQ，若∠KGQ＝2∠GBP，GQ＝15，求GP的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）根据圆内接四边形的性质和补角的性质可证∠BFE＝∠AGE，再根据三角形内角和定理可证∠AMG＝∠ANF，进而可得结论；

（2）连接DE，可证出BD＝CD，可得∠FBC＝∠BAC，证出∠BFC＝∠ABC＝∠C，结论得证；

（3）取AB中点P，连接MH、GH、DE，可得平行四边形BDEM、等边△MHE，可得出∠GAH＝∠GHA＝15°，求出GA＝GH＝EH＝，求出AE＝，可求出AB和BG长，Rt△BGK中，可得∠GBK＝45°，求出GK＝BK＝，Rt△QGK中勾股定理可得QK＝，延长BK到T使KT＝PK，连接GK则△BKP≌△GKT，得出∠KGT＝∠KBP，可得QG＝QT＝15，则PK可求出，GP＝GK﹣PK＝．

（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵四边形BFEG内接于⊙O，

∴∠BGE+∠BFE＝180°

∵∠BGE+∠AGE＝180°，

∴∠BFE＝∠AGE，

∵△AGM中，∠BAD+∠AGE+∠AMG＝180°，

△ANF中，∠CAD+∠BFE+∠ANF＝180°，

∴∠AMG＝∠ANF，

∵∠ANF＝∠BND，

∴∠AMG＝∠BND；

（2）证明：如图，连接DE，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD，

∵AE＝CE，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE∥AB，

∴∠DEC＝∠BAC，

∵∠DEC＝∠FBC，

∴∠FBC＝∠BAC，

∵∠C=∠C，

∴△ABC∽△BFC，

∴∠ABC=∠BFC．

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C，

∴∠BFC＝∠ABC＝∠C，

∴BF＝BC；

（3）解：如图，取AB中点M，连接MH、ME、DE，

∵AE＝CE，AM=BM，

∴ME是△ABC的中位线，

∴ME∥BD，

∴∠GME＝∠ABC，

∵∠ABC＝∠C，∠C＝∠EDC＝∠BGE，

∴∠MGE＝∠GME，

∴GE＝ME，

∵MH＝ME，EH＝EG，

∴△MHE是等边三角形，

∵AD垂直平分BC，

∴AH垂直平分ME，

∴∠GAH＝∠GHA＝15°，

∴GA＝CH＝EH＝＝，

∴在△AGE中，AE＝，

∴AB＝AC＝，

∴BG＝AB﹣AG＝，

∵Rt△BGK中，可得∠GBK＝45°，

∴GK＝BK＝，

∴Rt△QGK中，QK＝＝，

延长BK到T使KT＝PK，连接GK，

∵∠BKP＝∠GKT，

∴△BKP≌△GKT（SAS），

∴∠KGT＝∠KBP，∴∠BPK＝∠GTK，

∵∠QGT＝∠KGQ+∠KGT＝∠KGQ+∠PBK，

∠KGQ＝2∠GBP，

∴∠QGT＝2∠GBP+∠PBK，

∵∠PBK＝45°﹣∠GBP，

∴∠QGT＝45°+∠PBG＝∠BPK，

∴∠QGT＝∠GTK，

∴QG＝QT＝15，

∴PK＝KT＝QT﹣QK＝，

∴GP＝GK﹣PK＝12＝．