Question

20．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠A=40°，求∠BOC和∠EDF的度数．

Answer 1

分析 根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，根据内心的概念得到∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出∠BOC；连接OE、OF，根据切线的性质得到∠AEO=∠AFO=90°，根据四边形内角和等于360°，求出∠EOF，根据圆周角定理得到答案．

解答 解：∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=140°，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=70°，
∴∠BOC=180°-70°=110°；
连接OE、OF，
∵AB、AC分别切⊙O于F、E，
∴∠AEO=∠AFO=90°，
∴∠EOF=140°，
∴∠EDF=$\frac{1}{2}$∠EOF=70°．

点评 本题考查的是三角形内切圆和内心、圆周角定理和切线的性质的综合运用，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点和圆周角定理是解题的关键，注意所学知识的综合运用．