Question

已知一元二次方程x²+ax+a=2．
（1）证明：不论a为何值，方程总有不相等的两实数根；
（2）x₁，x₂为方程的两根，求（x₁-2x₂）（x₂-2x₁）的最大值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）先求出△表达式，再根据一元二次方程的根与△的关系即可得出结论；
（2）先根据根与系数的关系得出x₁+x₂=-a，x₁x₂=a-2，再代入代数式进行计算即可．

解答：（1）证明：∵原方程可化为x²+ax+a-2=0，
∴△=a²-4（a-2）=（a-2）²+4≥4，
∴不论a为何值，方程总有不相等的两实数根；

（2）∵x₁，x₂为方程的两根，
∴x₁+x₂=-a，x₁x₂=a-2，
∴（x₁-2x₂）（x₂-2x₁）=-2x₁²-2x₂²+5x₁x₂=-2（x₁+x₂）²+9x₁x₂，
=-2a²+9a-18
=-2（a-

9

4

）²-

63

8

，
∴当a=

9

4

时，（x₁-2x₂）（x₂-2x₁）的最大值为-

63

8

．

点评：本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．