Question

如图，已知抛物线y=ax²﹣5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求直线BC的解析式；

（3）若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点A（1，0）在抛物线y=ax²﹣5ax+2（a≠0）上，

∴a﹣5a+2=0，

∴a=，

∴抛物线的解析式为y=x²﹣x+2；

（2）抛物线的对称轴为直线x=，

∴点B（4，0），C（0，2），

设直线BC的解析式为y=kx+b，

∴把B、C两点坐标代入线BC的解析式为y=kx+b，得

，

解得k=﹣，b=2，

∴直线BC的解析式y=﹣x+2；

（3）设N（x，x²﹣x+2），分两种情况讨论：

①当△OBC∽△HNB时，如图1，

=，

即=，

解得x₁=5，x₂=4（不合题意，舍去），

∴点N坐标（5，2）；

②当△OBC∽△HBN时，如图2，

=，

即=﹣，

解得x₁=2，x₂=4（不合题意舍去），

∴点N坐标（2，﹣1）；

综上所述点N坐标（5，2）或（2，﹣1）．