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【题目】如图,抛物线yx2+x+4x轴相交于点ABy轴相交于点C,抛物线的对称轴与x轴相交于点MP是抛物线在x轴下方的一个动点(点PMC不在同一条直线上).分别过点AB作直线CP的垂线,垂足分别为DE,连接点MDME

1)写出点AB的坐标,   并证明△MDE是等腰三角形;

2)△MDE能否为等腰直角三角形?若能,求此时点的坐标;若不能,说明理由;

3)若将P是抛物线在x轴下方的一个动点(点PMC不在同一条直线上)改为P是抛物线在x轴上方的一个动点,其他条件不变,△MDE能否为等腰直角三角形?若能求此时点P的坐标(直接写出结果);若不能,说明理由.

【答案】1) A(﹣50),B(﹣10);证明见解析;(2)能;(3)(﹣).

【解析】

1)在抛物线解析式中,令y0,解一元二次方程,可求得点A、点B的坐标;如图1所示,延长EMAD于点F,证明△AMF≌△BME,得到点M为为RtEDF斜边EF的中点,从而得到MDME,问题得证;

2)首先分析,若△MDE为等腰直角三角形,直角顶点只能是点M.如答图2所示,设直线PC与对称轴交于点N,首先证明△ADM≌△NEM,得到MNAM,从而求得点N坐标为(﹣3,﹣2);其次利用点N、点C坐标,求出直线PC的解析式;最后联立直线PC与抛物线的解析式,求出点P的坐标.

3)当点P是抛物线在x轴上方的一个动点时,解题思路与(2)完全相同.

解:(1)∵抛物线yx2+x+4x轴相交于点AB两点,

∴令y0

解得:x1=﹣5x2=﹣1

A(﹣50),B(﹣10).

故答案为:A(﹣50),B(﹣10).

如答图1所示,延长EMAD交于点F

ADPCBEPC

ADBE

∴∠MAF=∠MBE

在△AMF与△BME中,

∴△AMF≌△BMEASA),

MEMF,即点MRtEDF斜边EF的中点,

MDME

即△MDE是等腰三角形.

2)答:能.

抛物线解析式为:

∴对称轴是直线x=﹣3M(﹣30);

x0,得y4

C04).

MDE为等腰直角三角形,有3种可能的情形:

①若DEEM

DEBE,可知点EMB在一条直线上,

而点BMx轴上,因此点E必然在x轴上,

DEBE,可知点E只能与点O重合,即直线PCy轴重合,

不符合题意,故此种情况不存在;

②若DEDM,与①同理可知,此种情况不存在;

③若EMDM,如答图2所示:

设直线PC与对称轴交于点N

EMDMMNAM

∴∠EMN=∠DMA

在△ADM与△NEM中,

∴△ADM≌△NEMASA),

MNMA

M(﹣30),MNMA2

N(﹣3,﹣2).

设直线PC解析式为ykx+b

∵点N(﹣3,﹣2),C04)在直线上,

,解得k2b4

y2x+4

y2x+4代入抛物线解析式得:

解得:x0

x0时,交点为点C

时,y2x+4=﹣3

P,﹣3).

综上所述,△MDE能成为等腰直角三角形,此时点P坐标为(3).

3)答:能.

与(2)同理,可知若△MDE为等腰直角三角形,直角顶点只能是点M

MDMEMAMN

∴∠DMN=∠EMB

在△DMN与△EMB中,

∴△DMN≌△EMBASA),

MNMB

N(﹣32).

设直线PC解析式为ykx+b

∵点N(﹣32),C04)在直线上,

,解得kb=﹣4

yx+4

yx+4代入抛物线解析式得:x+4x2+x+4

解得:x0x=﹣

x0时,交点为点C;当x=﹣时,yx+4

P(﹣).

综上所述,△MDE能成为等腰直角三角形,此时点P坐标为(﹣).

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