Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD边上一点，作等边△BEF，连接AF．

（1）求证：CE＝AF；

（2）EF与AD交于点P，∠DPE＝48°，求∠CBE的度数．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）12°

【解析】

（1）根据菱形的性质，利用SAS判定△ABE≌△ADF，从而求得AE=AF

（2）根据菱形的性质，得出∠C的度数，利用三角形内角和180°的性质，得出∠DEP＝72°，及∠CBE＝∠BED－∠C的关系即可解答.

（1）证明：∵ 四边形ABCD是菱形，

∴ AB＝BC．

∵ △BEF是等边三角形，

∴ BF＝BE，∠FBE＝∠FEB＝60°．

∵ ∠ABC＝60°，

∴ ∠ABC＝∠FBE，

∴ ∠ABC－∠ABE＝∠FBE－∠ABE，即∠EBC＝∠FBA．

∴ △EBC≌△FBC（SAS）．

∴ CE＝AF．

（2）解：∵ 四边形ABCD是菱形，

∴ AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°．

∴ ∠C＝180°－∠D＝120°．

在△PDE中，∠D＋∠DPE＋∠PED＝180°，

∴ ∠DEP＝72°．

由（1）得，∠FEB＝60°，

∴ ∠BED＝∠DEP＋∠BEP＝72°＋60°＝132°．

∴ ∠CBE＝∠BED－∠C＝132°－120°＝12°．