Question

【题目】如图,在菱形中,=60°, AB=2,点E是AB上的动点,作∠EDQ=60°交BC于点Q,点P在AD上,PD=PE.

（1）求证：AE=BQ；

（2）连接PQ, EQ,当∠PEQ=90°时,求的值；

（3）当AE为何值时,△PEQ是等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）=；（3）AE为或2

【解析】

（1）连结DB，根据“ASA”证明△ADE≌△BDQ即可；

（2）先证明△DEQ是等边三角形，可得∠DEQ=60°，进而可证明∠AED＝90°，根据勾股定理求出DE的长，根据两平行线间的距离相等求出PQ的长，即可求出的值；

（3）分三种情况讨论求解：①当QP=QE时，②当PE=QE时，③当PE=PQ时.

解：（1）连结DB,

∵四边形ABCD为菱形,∠A＝60°,

∴AD=AB＝DB,∠DBQ＝∠A＝60°.

∴∠ADB＝60°.

∵∠EDQ=60°,

∴∠ADE＝∠BDQ.

∴△ADE≌△BDQ.

∴AE=BQ.

（2）如图，

∵△ADE≌△BDQ,

∴DE=DQ.

∵∠EDQ=60°，

∴△DEQ是等边三角形，

∴∠DEQ=60°，DE=EQ=DQ.

∵∠PEQ=90°,

∴∠PED＝30°.

∵PD=PE,

∴∠PDE＝∠PED＝30°.

∴∠AED＝90°.

∵AD=2,

∴DE＝.

∵PD=PE, EQ=DQ,

∴PQ是DE的中垂线,

∴PQ= AB=2.

∴=.

（3）①当QP=QE时,如图1,

∵∠EQP＝∠DQP＝30°,

∴∠QPE＝∠QEP＝∠PDQ ＝75°.

∴∠PED＝∠PDE＝15°,

∴∠APE＝30°,

∴∠AEP＝90°.

∴AP＝2AE,PE＝PD＝AE,

∴AE＋2AE=2,

∴AE＝.

②当PE=QE时,

∵△DEQ是正三角形，

∴△PDE是正三角形,∠ADE＝60°,

点E与点B重合,如图2,

∴AE=2.

③当PE=PQ时,

∵∠EQP＝30°,

∴∠PEQ=30°，由图可知∠PEQ≥60°,

∴点E不存在.

综上所述,当AE为或2时,△PEQ是等腰三角形.