【题目】如图,中,,以为直径的交于点,交于点,过点作于点,交的延长线于点.
(1)求证:是的切线;
(2)已知,,求和的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】(1)连接OD,AD,由圆周角定理可得AD⊥BC,结合等腰三角形的性质知BD=CD,再根据OA=OB知OD∥AC,从而由DG⊥AC可得OD⊥FG,即可得证;
(2)连接BE.BE∥GF,推出△AEB∽△AFG,可得,由此构建方程即可解决问题;
(1)如图,连接OD,AD,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴BD=CD,
又∵OA=OB,
∴OD∥AC,
∵DG⊥AC,
∴OD⊥FG,
∴直线FG与⊙O相切,即DF是⊙O的切线;
(2)如图,连接BE.∵BD=2,
∴CD=BD=2,
∵CF=2,
∴DF==4,
∴BE=2DF=8,
∵cos∠C=cos∠ABC,
∴,
∴,
∴AB=10,
∴AE=,
∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴BE∥GF,
∴△AEB∽△AFG,
∴,
∴,
∴BG=.
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【题目】如图,圆的周长为4个单位长度,在圆的四等分点处标上字母,先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字0对应的点重合,若将圆沿着数轴向左滚动,那么数轴上的-2019所对应的的点将与圆周上字母__________所对应的的点重合.
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【题目】某学校准备组织八年级学生春游,供学生选择的春游地点分别是:植物园、太阳岛、东北虎林园.每名学生只能选择其中一个春游地点(必选且只选一个).该校从八年级学生中随机抽取了a名学生,对他们选择春游地点的情况进行调查,并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图.
(1)求a的值.
(2)求a名学生中选择去植物园春游的人数占所抽取人数的百分比是多少?
(3)如果该校八年级有440名学生,请你估计选择去太阳岛春游的学生有多少名?
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【题目】如图,∠MBC和∠NCB是△ABC的外角,点O是∠MBC和∠NCB的平分线的交点,点O叫做△ABC的旁心.
(1)已知∠A=100°,那么∠BOC等于多少度;
(2)猜想∠BOC与∠A有什么数量关系?并证明你的猜想.
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【题目】某商场计划购进一批甲、乙两种玩具,已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元,用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进的乙种玩具的件数相同.
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元?
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件,购进这两种玩具的总资金超过960元但不超过1000元,求商场有哪几种具体的进货方案?最多可以购进乙种玩具多少件?
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【题目】已知:如图所示,
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′,并写出△A′B′C′三个顶点的坐标.
(2)在x轴上画出点P,使PA+PC最小,写出作法.
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【题目】在第23个世界读书日前夕,我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间用t表示,单位:小时,采用随机抽样的方法进行问卷调查,调查结果按,,,分为四个等级,并依次用A,B,C,D表示,根据调查结果统计的数据,绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图,由图中给出的信息解答下列问题:
求本次调查的学生人数;
求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数,并把条形统计图补充完整;
若该校共有学生1200人,试估计每周课外阅读时间满足的人数.
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【题目】如图,反比例函数y=(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别交AB、BC于点D、E,连结DE.若四边形ODBE的面积为9,则△ODE的面积是________.
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