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【题目】如图,中,,以为直径的于点,交于点,过点于点,交的延长线于点.

(1)求证:的切线;

(2)已知,求的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】(1)连接OD,AD,由圆周角定理可得ADBC,结合等腰三角形的性质知BD=CD,再根据OA=OBODAC,从而由DGAC可得ODFG,即可得证;

(2)连接BE.BEGF,推出AEB∽△AFG,可得,由此构建方程即可解决问题;

1)如图,连接OD,AD,

AB为⊙O的直径,

∴∠ADB=90°,即ADBC,

AB=AC,

BD=CD,

又∵OA=OB,

ODAC,

DGAC,

ODFG,

∴直线FG与⊙O相切,即DF是⊙O的切线;

(2)如图,连接BE.BD=2

CDBD=2

CF=2,

DF==4,

BE=2DF=8,

cosC=cosABC,

AB=10,

AE=

BEAC,DFAC,

BEGF,

∴△AEB∽△AFG,

BG=

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