如图.已知二次函数y=ax2+$\frac{3}{2}$x+c的图象与y轴交于点A(0.4).与x轴交于点B.C.点C坐标为(8.0).连接AB.AC．(1)请直接写出二次函数y=ax2+$\frac{3}{2}$x+c的表达式,(2)判断△ABC的形状.并说明理由,(3)若点N在x轴上运动.当以点A.N.C为顶点的三角形是等腰三角形时.请直接写出此时点N的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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19．如图，已知二次函数y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．
（1）请直接写出二次函数y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；
（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．

分析（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据抛物线的解析式求得B的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB²=20，AC²=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形．
（3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标；
（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，根据三角形相似对应边成比例求得MD=$\frac{2}{5}$（n+2），然后根据S_△AMN=S_△ABN-S_△BMN
得出关于n的二次函数，根据函数解析式求得即可．

解答解：（1）∵二次函数y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{64a+12+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{c=4}\end{array}\right.$．
∴抛物线表达式：y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4；
（2）△ABC是直角三角形．
令y=0，则-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=0，
解得x₁=8，x₂=-2，
∴点B的坐标为（-2，0），
由已知可得，
在Rt△ABO中AB²=BO²+AO²=2²+4²=20，
在Rt△AOC中AC²=AO²+CO²=4²+8²=80，
又∵BC=OB+OC=2+8=10，
∴在△ABC中AB²+AC²=20+80=10²=BC²
∴△ABC是直角三角形．
（3）∵A（0，4），C（8，0），
∴AC=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（-8，0），
②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8-4$\sqrt{5}$，0）或（8+4$\sqrt{5}$，0）
③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），
综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（-8，0）、（8-4$\sqrt{5}$，0）、（3，0）、（8+4$\sqrt{5}$，0）．
（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，
∴MD∥OA，
∴△BMD∽△BAO，
∴$\frac{BM}{BA}$=$\frac{MD}{OA}$，
∵MN∥AC
∴$\frac{BM}{BA}$=$\frac{BN}{BC}$，
∴$\frac{MD}{OA}$=$\frac{BN}{BC}$，
∵OA=4，BC=10，BN=n+2
∴MD=$\frac{2}{5}$（n+2），
∵S_△AMN=S_△ABN-S_△BMN
=$\frac{1}{2}$BN•OA-$\frac{1}{2}$BN•MD
=$\frac{1}{2}$（n+2）×4-$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{5}$（n+2）²
=-$\frac{1}{5}$（n-3）²+5，
∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．

点评本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，勾股定理和逆定理，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质以及函数的最值等，熟练掌握性质定理是解题的关键．

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