Question

【题目】等腰△ABC中，AB＝BC＝8，∠ABC＝120°，BE是∠ABC的平分线，交AC于E，点D是AB的中点，连接DE，作EF∥AB于点F．

（1）求证四边形BDEF是菱形；

（2）如图以DF为一边作矩形DFHG，且点E是此矩形的对称中心，求矩形另一边的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）FH＝4.

【解析】

（1）先证明四边形BDEF是平行四边形，再根据DE＝AB＝BD，即可得到四边形BDEF是菱形；

（2）先证明四边形BEFH是平行四边形，得到BE＝FH，再根据BE＝BC＝4，即可得到FH＝4．

解：（1）∵AB＝BC，BE是∠ABC的平分线，

∴E是AC的中点，且BE⊥AC，

又∵点D是AB的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE∥BF，

又∵EF∥BD，

∴四边形BDEF是平行四边形，

又∵Rt△ABE中，点D是AB的中点，

∴DE＝AB＝BD，

∴四边形BDEF是菱形；

（2）连接EH，

∵点E是此矩形的对称中心，

∴D，E，H在同一直线上，

∵DE∥BF，

∴EH∥BF，

∵AB=BC，BE是∠ABC的角平分线，

∴点E是AC的中点，且BE⊥AC，

∵EF∥AB，

∴点F是BC的中点，

∵点D是AB的中点，

∴DF∥AC，

∴BE⊥DF，

又∵DFHG是矩形，

∴FH⊥DF，

∴BE∥FH，

∴四边形BEHF是平行四边形，

∴BE＝FH，

∵∠ABC＝120°，BE平分∠ABC，

∴∠EBF＝60°，

又∵∠BEC＝90°，

∴∠C＝30°，

∴BE＝BC＝4，

∴FH＝4．