Question

12．已知a，b，c是△ABC的三边．并设二次函数为y=（a+b）x²+2cx-（a-b），当x=-$\frac{1}{2}$时，函数有最小值-$\frac{b}{2}$．求证：△ABC为等边三角形．

Answer 1

分析 利用二次函数的最值问题得到-$\frac{2c}{2（a+b）}$=-$\frac{1}{2}$，$\frac{-4（a+b）（a-b）-4{c}^{2}}{4（a+b）}$=-$\frac{b}{2}$，去分母得到2c=a+b，2a²-3b²+2c²-ab=0，再消去c得到a²-b²=0，所以a=b，则a=b=c，于是可判断△ABC为等边三角形．

解答 证明：∵当x=-$\frac{1}{2}$时，函数有最小值-$\frac{b}{2}$．
∴-$\frac{2c}{2（a+b）}$=-$\frac{1}{2}$，$\frac{-4（a+b）（a-b）-4{c}^{2}}{4（a+b）}$=-$\frac{b}{2}$，
∴2c=a+b，2a²-3b²+2c²-ab=0，
∴2a²-3b²+2•（$\frac{a+b}{2}$）²-ab=0，
∴a²-b²=0，
∴a=b，
∴2c=2a，
即a=b=c，
∴△ABC为等边三角形．

点评 本题考查了二次函数的最值：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-$\frac{b}{2a}$，y=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-$\frac{b}{2a}$，y=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$．也考查了等边三角形的判定．