Question

14．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于M（2，m）、N（-1，-4）两点．求：
（1）反比例函数与一次函数的解析式．
（2）根据图象写出反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
（3）请在y轴上确定一点P，使得|MP-PN|的值最大，则P点坐标为（0，-10）．

Answer 1

分析 （1）把点N的坐标代入反比例函数解析式可得k的值，把M的横坐标代入反比例函数解析式可得m的值，把M，N的坐标代入一次函数解析式可得a，b的值；
（2）根据图象上两个函数的交点即可得到结论；
（3）作N点关于y轴对称点N′，连接MN′，直线MN′与y轴交点即为P点，此时|PM-PN|最大，直线MN′与y轴的交点即为所求．

解答 解：（1）设反比例函数解析式为y=$\frac{k}{x}$，
把N的坐标代入得k=-1×（-4）=4，反比例函数解析式为 y=$\frac{4}{x}$，
把M的坐标代入y=$\frac{4}{x}$得  2m=4，m=2，
把M的坐标代入y=ax+b得  2=2a+b
把N的坐标代入y=ax+b得-4=-a+b
解得a=2，b=-2．
∴一个函数的解析式为 y=2x-2；

（2）由图象知：0＜x＜2或x＜-1，反比例函数的值大于一次函数的值；

（3）作N（-1，-4）关于y轴的对称点N′，连接MN′，直线MN′与y轴交点即为P点，此时|PM-PN|最大，
∵N（-1，-4），
∴N′（1，-4），
设直线MN′的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4=k+b}\\{2=2k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=6}\\{b=-10}\end{array}\right.$，
令x=0，则y=-10，
∴P（0，-10）．
故答案为：（0，-10）．

点评 本题考查了利用函数的解析式求点的坐标，待定系数法求函数的解析式，求三角形的面积，最值问题，正确的作出辅助线是解题的关键．