Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．

（1）求证：AB=BE；

（2）若PA=2，cosB=，求⊙O半径的长．

Answer 1

解：（1）证明：连接OD，

∵PD切⊙O于点D，……………………… 2分

∴OD⊥PD，

∵BE⊥PC，

∴OD∥BE，

∴∠ADO=∠E，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∴∠OAD=∠E，

∴AB=BE；……………………… 3分

（2）解：有（1）知，OD∥BE，

∴∠POD=∠B，……………………… 4分

∴cos∠POD=cosB=，

在Rt△POD中，cos∠POD=，

∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，

∴,

∴OA=3，

∴⊙O半径为3．……………………… 5分