Question

【题目】如图，直线，与和分别相切于点和点．点和点分别是和上的动点，沿和平移．的半径为，．下列结论错误的是（ ）

A. B. 若与相切，则

C. 若，则与相切 D. 和的距离为

Answer 1

【答案】B

【解析】

连结OA、OB，根据切线的性质和l1∥l2得到AB为⊙O的直径，则l1和l2的距离为2；当MN与⊙O相切，连结OM，ON，当MN在AB左侧时，根据切线长定理得∠AMO=∠AMN=30°，在Rt△AMO中，利用正切的定义可计算出AM=，在Rt△OBN中，由于∠ONB=∠BNM=60°，可计算出BN=，当MN在AB右侧时，AM=，所以AM的长为或；当∠MON=90°时，作OE⊥MN于E，延长NO交l1于F，易证得Rt△OAF≌Rt△OBN，则OF=ON，于是可判断MO垂直平分NF，所以OM平分∠NMF，根据角平分线的性质得OE=OA，然后根据切线的判定定理得到MN为⊙O的切线．

连结OA、OB，如图1，

∵⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，

∴OA⊥l1，OB⊥l2，

∵l1∥l2，

∴点A、O、B共线，

∴AB为⊙O的直径，

∴l1和l2的距离为2；故C正确，

作NH⊥AM于H，如图1，

则NH=AB=2，

∵∠AMN=60°，

∴sin60°=，

∴MN=；故A正确，

当MN与⊙O相切，如图2，连结OM，ON，

当MN在AB左侧时，∠AMO=∠AMN=×60°=30°，

在Rt△AMO中，tan∠AMO=，即AM=，

在Rt△OBN中，∠ONB=∠BNM=60°，tan∠ONB=，即BN=，

当MN在AB右侧时，AM=，

∴AM的长为或；故B错误，

当∠MON=90°时，作OE⊥MN于E，延长NO交l1于F，如图2，

∵OA=OB，

∴Rt△OAF≌Rt△OBN，

∴OF=ON，

∴MO垂直平分NF，

∴OM平分∠NMF，

∴OE=OA，

∴MN为⊙O的切线．故D正确．

故选B．