Question

16．已知?ABCD的周长为52，自顶点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若DE=5，DF=8，则AB的长为16，BC的长为10．

Answer 1

分析 根据∠A为锐角或∠D为锐角分情况进行讨论，（1）当∠A为锐角时，（2）当∠D为锐角时，根据题意画出图形，作出辅助线，设AB=a，BC=b，根据平行四边形的面积公式推出AB×DE=BC×DF，即5a=8b，再根据平行四边形的性质推出AB=CD，BC=DA后，由周长公式即可推出2（a+b）=52，通过解方程组即可得到结论．

解答 解：对于平行四边形ABCD有两种情况：
（1）当∠A为锐角时，如图1，
设AB=a，BC=b，
∵四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴AB×DE=BC×DF，AB=CD，BC=DA，
又∵DE=5，DF=8，
∴5a=8b，
∵平行四边形ABCD的周长为52，
∴2（a+b）=52，
∴a+b=26，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{5a=8b}\\{a+b=26}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{a=16}\\{b=10}\end{array}\right.$，
∴AB=16，BC=10，
∴AB=CD=16，AD=BC=10；
（2）当∠D为锐角时，如图2，
设AB=a，BC=b，
∵四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴AB×DE=BC×DF，AB=CD，BC=DA，
又∵DE=5，DF=8，
∴5a=8b，
∵平行四边形ABCD的周长为52，
∴2（a+b）=52，
∴a+b=26，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{5a=8b}\\{a+b=26}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{a=16}\\{b=10}\end{array}\right.$，
∴AB=16，BC=10．
故答案为：16，10．

点评 本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理，合并同类二次根式等知识点，关键在于根据∠A为锐角或∠D为锐角分情况进行讨论，根据平行四边形的面积公式和周长定理正确的列出方程组，并认真的求解，推出AB和BC的长度，熟练运用数形结合的思想进行求解．