Question

6．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=90°，过O作EF⊥AC交AB于E，交CD于F．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AD=4，AB=2$\sqrt{13}$，求$\frac{AE}{EF}$的值．

Answer 1

分析 （1）连接AF、EC，由△FCO≌△EAO得FC=AE，得到四边形FCEA是平行四边形，只要证明FA=FC即可．
（2）作DM⊥AC于M，用面积法求出DM，根据sin∠DCM=sin∠EAO即可解决问题．

解答 （1）证明：如图连接AF、EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AO=OC，
∴∠FCO=∠EAO，
在△FCO和△EAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCO=∠EAO}\\{CO=AO}\\{∠FOC=∠EOA}\end{array}\right.$，
∴△FCO≌△EAO，
∴FC=AE，
∵FC∥AE，
∴四边形FCEA是平行四边形，
∵FO⊥AC，OA=OC，
∴FA=FC，
∴四边形FCEA是菱形．
（2）作DM⊥AC于M，
在RT△ADB中，∵AD=4，AB=2$\sqrt{13}$，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=OB=3，AO=$\sqrt{A{D}^{2}+D{O}^{2}}$=5，DC=AB=2$\sqrt{13}$，
∵$\frac{1}{2}$•AD•DO=$\frac{1}{2}$•OA•DM，
∴DM=$\frac{12}{5}$，
∴sin∠DCA=$\frac{DM}{DC}$=$\frac{6\sqrt{13}}{65}$，
∵∠DCA=∠CAE，
∴sin∠CAE=$\frac{OE}{AE}=\frac{6\sqrt{13}}{65}$，
由（1）可知△FCO≌△EAO
∴OF=OE，EF=2OE，
∴$\frac{EF}{AE}$=$\frac{12\sqrt{13}}{65}$，
∴$\frac{AE}{EF}$=$\frac{5\sqrt{13}}{12}$．

点评 考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、三角函数等知识，第二个问题的关键是作高DM，转化为在RT△DCM求出sin∠DCM，属于中考常考题型．