Question

11．如图，在?ABCD中，AB=4，BC=8，∠B=60°，点P以每秒2个单位速度，从点B出发沿射线BA方向运动，同时直线l以每秒1个单位速度，从CD出发沿射线CB方向运动，分别交BC，AC于点G，H，连结PG，设运动的时间为t，当G与B重合时，运动停止．
（1）当t为何值时，以P，G，H，A为顶点的四边形是平行四边形；
（2）在运动过程中，是否存在以P，G，H，A为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当PA=GH时，以P，G，H，A为顶点的四边形是平行四边形，列出方程即可解决．
（2）不存在，根据（1）中的两种情形进行证明．

解答 解：（1）当PA=GH时，以P，G，H，A为顶点的四边形是平行四边形，
如图取BC中点M，连接AM，
∵AB=4，BM=MC=4，∠ABC=60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴AM=MC=4，∠AMB=60°，
∴∠MAC=∠MCA，
∵∠AMB=∠MAC+∠MCA，
∴∠BCA=30°，
∴∠BAC=90°，
∵AB∥GH，
∴∠GHC=∠BAC=90°
∵PA=4-2t或2t-4，GH=$\frac{1}{2}$CG=$\frac{1}{2}$t
由题意：4-2t=$\frac{1}{2}$t或2t-4=$\frac{1}{2}t$，
t=$\frac{8}{5}$或$\frac{8}{3}$，
（2）不存在．理由如下：
由（1）可知①t=$\frac{8}{5}$时 四边形APGH是平行四边形，
∵∠PAH=90°，
∴四边形APGH是矩形，
∵GH=$\frac{4}{5}$，PG=$\frac{16\sqrt{3}}{5}$，
∴GH≠PG，
∴四边形APGH不是正方形．
②t=$\frac{8}{3}$时，点P在BA的延长线上，四边形PAGH显然不是正方形．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、正方形的判定和性质，解决问题的关键是用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．