Question

【题目】对于X，Y定义一种新运算F，F（X，Y）＝aX+2bY﹣1（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算；例如：F（2，1）＝2a+2b﹣1；

（1）F（1，1）＝3，F（2，﹣1）＝1；

①求a和b的值；

②若关于m的不等式组只有三个整数解，求实数k的取值范围；

（2）若F（X，Y）＝F（Y，X）对于任意实数X，Y都成立（这里F（X，Y）和F（Y，X）均有意义），求a与b满足的关系式．

Answer 1

【答案】（1）①a=2,b=1;②﹣9≤k＜﹣5；（2）a＝2b．

【解析】

（1）①根据定义的新运算T，列出二元一次方程组，解方程组求出a，b的值；
②根据（1）求出的a，b的值和新运算列出方程组求出m的取值范围，根据题意列出不等式，解不等式求出实数k的取值范围；
（2）根据新运算列出等式，得到（a-2b）（X-Y）=0，根据题意求出a，b应满足的关系式．

（1）①，

解得，；

②，

解得＜m＜1，

因为原不等式组有3个整数解，

所以﹣3≤＜﹣2，

解得，﹣9≤k＜﹣5；

（2）T（X，Y）＝aX+2bY﹣1，T（Y，X）＝aY+2bX﹣1，

所以aX+2bY﹣1＝aY+2bX﹣1，

所以（a﹣2b）（X﹣Y）＝0

所以a＝2b．