【题目】已知正方形ABCD中,点E,F分别为BC,CD上的点,连接AE,BF相交于点H,且AE⊥BF.
(1)如图1,连接AC交BF于点G,求证:∠AGF=∠AEB+45°;
(2)如图2,延长BF到点M,连接MC,若∠BMC=45°,求证:AH+BH=BM;
(3)如图3,在(2)的条件下,若点H为BM的三等分点,连接BD,DM,若HE=1,求△BDM的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)6.
【解析】
(1)根据正方形的性质得到∠ACB=∠ACD=45°,根据余角 的性质得到∠AEB=∠BFC,于是得到结论;
(2)过C作CK⊥BM于K,得到∠BKC=90°,推出四边形ABCD是正方形,根据正方形的性质得到AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°,得到∠ABH=∠BCK,在△ABH根据全等三角形的性质即可得到结论;
(3)过E作EN⊥CK于N,得到四边形HENK是矩形,根据矩形的性质得到HK=EN=BH,∠BHE=∠NEC,根据全等三角形的性质得到HE=CN=NK=1,求得CK=BH=2,得到BM=6,连接CH,根据全等三角形的性质得到BH=DM=2,∠BHC=∠DMC=135°.求得∠DMB=90°,于是得到结论.
(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=∠BCD=90°,
∴∠ACB=∠ACD=45°,
∵AE⊥BF,
∴∠AEB+∠FBC=90°,
∵∠FBC+∠BFC=90°,
∴∠AEB=∠BFC,
∵∠AGF=∠BFC+∠ACF,
∴∠AGF=∠AEB+45°.
(2)过C作CK⊥BM于K,
∴∠BKC=∠AHB=90°,
∵∠BMC=45°,
∴CK=MK,
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°,
∴∠ABH=∠BCK,
∴△ABH≌△BCK(AAS),
∴BH=CK=MK,AH=BK,∴BM=BK+MK=AH+BH.
(3)由(2)得,BH=CK=MK,∵H为BM的三等分点,
∴BH=HK=KM,
过E作EN⊥CK于N,∴四边形HENK是矩形,
∴HK=EN=BH,∠BHE=∠ENC,∴△BHE≌△ENC(ASA),
∴HE=CN=NK=1,∴CK=BH=2,
∴BM=6,
连接CH,
∵HK=MK,CK⊥MH,∠BMC=45°,∴CH=CM,∠MCH=90°,
∴∠BCH=∠DCM,∴△BHC≌△DMC(SAS),
∴BH=DM=2,∠BHC=∠DMC=135°,
∴∠DMB=90°,
∴△BDM的面积为DM·BM=6.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知点A(2,3),B(6,3),连接AB,如果点P在直线y=x﹣1上,且点P到直线AB的距离小于1,那么称点P是线段AB的“临近点”,则下列点为AB的“临近点”的是( )
A.(,)B.(3,3)C.(6,5)D.(1,0)
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【题目】已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过(0,3),(4,3).
(1)求b、c的值.
(2)开口方向 ,对称轴为 ,顶点坐标为 .
(3)该函数的图象怎样由y=x2的图象平移得到.
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【题目】对于X,Y定义一种新运算F,F(X,Y)=aX+2bY﹣1(其中a,b均为非零常数),这里等式右边是通常的四则运算;例如:F(2,1)=2a+2b﹣1;
(1)F(1,1)=3,F(2,﹣1)=1;
①求a和b的值;
②若关于m的不等式组只有三个整数解,求实数k的取值范围;
(2)若F(X,Y)=F(Y,X)对于任意实数X,Y都成立(这里F(X,Y)和F(Y,X)均有意义),求a与b满足的关系式.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,点E是BC边的中点,动点M在CD边上运动,以EM为折痕将△CEM折叠得到△PEM,联接PA,若AB=4,∠BAD=60°,则PA的最小值是( )
A. B. 2 C. 2﹣2 D. 4
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【题目】如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠BAD=60°.动点E、F分别从点B、D同时出发,以1cm/s的速度向点A、C运动,连接AF、CE,取AF、CE的中点G、H,连接GE、FH.设运动的时间为ts(0<t<4).
(1)求证:AF∥CE;
(2)当t为何值时,四边形EHFG为菱形;
(3)试探究:是否存在某个时刻t,使四边形EHFG为矩形,若存在,求出t的值,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格点.
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形;
(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形,使三角形三边长分别为2、、;
(3)如图3,点A、B、C是小正方形的顶点,求∠ABC的度数.
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【题目】某校为了解学生“自主学习、合作交流”的情况,对某班部分同学进行了一段时间的跟踪调查,将调查结果(A:特别好;B:好;C:一般;D:较差)绘制成以下两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)补全条形统计图;
(2)扇形统计图中,D类所占圆心角为 ;
(3)学校想从被调查的A类(1名男生、2名女生)和D类(男、女生各占一半)中分别选取一 位同学进行“一帮一”互助学习,请用画树状图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率.
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【题目】已知直线,直线和直线、交于点C和D,点P是直线上一动点.
(1)如图,当点P在线段CD上运动时,,,之间存在什么数量关系?请你猜想结论并说明理由.
(2)当点P在C、D两点的外侧运动时(P点与点C、D不重合),上述(1)中的结论是否还成立?若不成立,请直接写出,,之间的数量关系,不必写理由.
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