Question

【题目】如图（1），在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB的斜边OB在x轴上，直线y＝2x－2经过等腰直角三角形AOB的直角顶点A，交y轴于点C．

　　　　

（1）点C坐标是（ ， ）；点A坐标是（ ， ）；

（2）若D是坐标平面内任意一点，使点A、C、O、D刚好能构成平行四边形，请直接写出符合条件的点D的坐标；

（3）若点P是x轴上一动点．点Q的坐标是（a，），△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形．求出a的值并写出点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）0，-2，2，2；（2），，；（3）a=4，Q(4，1)．

【解析】

（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点，根据等腰直角三角形的性质可设点A的坐标为(a，a)，再把A点坐标代入y＝2x－2，即可算出a的值，进而得到A点坐标，令x=0，代入y＝2x－2，即可得到点C的坐标；
（2）画出草图，根据平行四边形的性质，分3种情况：当以OA为平行四边形的对角线时，当以OC为平行四边形的对角线时，当以AC为平行四边形的对角线时，分别求出点C的坐标，即可；

（3）连接AQ，AP，PQ，BQ，由SAS易证△APO≌△AQB，得出∠AOP=∠ABQ=45°，从而求得QB⊥OB，结合B点的坐标，即可得到点Q的坐标．

（1）过点A分别作AM⊥y轴于点M，AN⊥x轴于点N，

∵△AOB是等腰直角三角形，

∴ON=AN=BN，

∵∠MON=∠ANO=∠AMO=90°，

∴四边形ANOM是正方形，

∴AM=AN，

设点A的坐标为(a，a)，

∵点A在直线y=2x2上，

∴a=2a2，

解得：a=2，

∴A(2，2)，

令x=0，代入y=2x2得：y=-2，

∴C(0，-2)．

故答案是：0，-2，2，2；

（2）∵A(2，2)，C(0，-2)，D是坐标平面内任意一点，使点A、C、O、D刚好能构成平行四边形，

∴当以OA为平行四边形的对角线时，，当以OC为平行四边形的对角线时，，当以AC为平行四边形的对角线时，，

综上所述，点D的坐标是：，，；

（3）连接AQ，AP，PQ，BQ，

∵△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形，

∴AP=AQ，

∵∠OAB=∠PAQ=90°，

∴∠OAB∠PAB=∠PAQ∠PAB，

∴∠OAP=∠BAQ，

在△APO与△AQB中，

∵，

∴△APO≌△AQB（SAS），

∴∠AOP=∠ABQ=45°，

∴∠OBQ=45°+45°=90°，

∴QB⊥OB，

∵A(2，2)，

由第（1）题，可得OB=2AN=4，

∴B(4，0)，

∵Q点的坐标是(a，)，

∴a=4，

∴Q(41)．