Question

【题目】(1)问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合）将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC．求证：△ABD≌△ACE；

(2)探索：如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段BD2、CD2、DE2之间满足的等量关系，并证明你的结论；

(3)应用：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝6，CD＝2，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）2AD2＝BD2+CD2，理由见解析;（3）4．

【解析】

（1）先利用等腰直角三角形的性质推出∠BAD＝∠CAE，然后用边角边证明△BAD≌△CAE即可；

（2）连接EC，先用边角边证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE＝45°，进而推出∠BCE＝90°，由勾股定理可得DE2＝CE2+CD2，然后再由DE＝AD可得出结论；

（3）将AD绕点A逆时针旋转90°至AG，连接CG、DG，易得△DAG是等腰直角三角形，同理可证△BAD≌△CAG，然后推出DG＝4，即可得结果.

解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

（2）结论：2AD2＝BD2+CD2，

理由是：如图2中，连接EC．

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

∵，

∵△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，

∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，

∴DE2＝CE2+CD2，

∵AD＝AE，∠DAE＝90°，

∴DE＝AD，

∴2AD2＝BD2+CD2；

（3）如图3，将AD绕点A逆时针旋转90°至AG，连接CG、DG，

则△DAG是等腰直角三角形，

∴∠ADG＝45°，

∵∠ADC＝45°，

∴∠GDC＝90°，

同理得：△BAD≌△CAG，

∴CG＝BD＝6，

Rt△CGD中，∵CD＝2，

∴DG＝4，

∵△DAG是等腰直角三角形，

∴AD＝AG＝4．