Question

13．如图，AB是⊙O的弦，点D为OA上的一点，过点D作CD⊥OA于点D，交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）如果CD=13，AD=4，tan∠AED=$\frac{4}{3}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°，即可证明BC是⊙O的切线；
（2）在直角三角形ADE中，由正切函数求得DE，进而求得CE，然后根据勾股定理求得AE，作CG⊥AB于G，由∠AED=∠CEG，得出tan∠CEG=$\frac{4}{3}$，在直角三角形CGE中，由正切函数求得GE，进而求得BE，从而求得AB的长．

解答 （1）证明：连接OB，
∵OB=OA，CE=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC，
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°，
∴∠OBA+∠ABC=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；

（2）解：∵AD=4，tan∠AED=$\frac{4}{3}$，
∴tan∠AED=$\frac{AD}{DE}$=$\frac{4}{DE}$=$\frac{4}{3}$，
∴DE=3，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
∵CD=13，
∴CE=CD-DE=13-3=10，
作CG⊥AB于G，
∵∠AED=∠CEG，
∴tan∠CEG=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{CG}{EG}$=$\frac{4}{3}$，
设CG=4a，EG=3a，
在Rt△EGC中，EG²+CG²=CE²，
即（3a）²+（4a）²=10²，
解得a=2，
∴EG=3a=6，
∵CE=CB，CG⊥BE，
∴BE=2EG=2×6=12，
∴AB=AE+BE=5+12=17．

点评 此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．