Question

18．某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件生产成本为20元，销售价格在30元至80元之间（含30元和80元），销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用（不含生产成本）总计50万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的函数关系如图所示．
（1）当30≤x≤60时，求y与x的函数关系式；
（2）求出该厂生产销售这种产品的纯利润w（万元）与销售价格x（元/个）的函数关系式；
（3）销售价格应定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）由图象知，当30≤x≤60时，图象过（60，2）和（30，5），运用待定系数法求解析式即可；
（2）根据销售产品的纯利润=销售量×单个利润，分30≤x≤60和60＜x≤80列函数表达式；
（3）当30≤x≤60时，运用二次函数性质解决，当60＜x≤80时，运用反比例函数性质解答．

解答 解：（1）当x=60时，y=$\frac{120}{60}$=2，
∴当30≤x≤60时，图象过（60，2）和（30，5），
设y=kx+b，则
$\left\{\begin{array}{l}{30k+b=5}\\{60k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-0.1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴y=-0.1x+8（30≤x≤60）；
（2）根据题意，当30≤x≤60时，W=（x-20）y-50=（x-20）（-0.1x+8）-50=-0.1x²+10x-210，
当60＜x≤80时，W=（x-20）y-50=（x-20）•$\frac{120}{x}$-50=-$\frac{2400}{x}$+70，
综上所述：W=$\left\{\begin{array}{l}{-0.1{x}^{2}+10x-210（30≤x≤60）}\\{-\frac{2400}{x}+70（60＜x≤80）}\end{array}\right.$；
（3）当30≤x≤60时，W=-0.1x²+10x-210=-0.1（x-50）²+40，
当x=50时，W最大=40（万元）；
当60＜x≤80时，W=-$\frac{2400}{x}$+70，
∵-2400＜0，W随x的增大而增大，
∴当x=80时，W最大=-$\frac{2400}{80}$+70=40（万元），
答：当销售价格定为50元/件或80元/件，获得利润最大，最大利润是40万元．

点评 本题主要考查了一次函数和二次函数的应用．分段讨论和数学建模是解决本题的关键所在．