Question

20．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．点B是线段AC上一点，且AB=40cm，∠DBC=75°．
（1）求点B到AD的距离；
（2）求线段CD的长（结果用根号表示）．

Answer 1

分析 （1）作BE⊥AD于E，如图，在Rt△ABE中，利用30度的正弦易得BE=$\frac{1}{2}$AB=20cm，
（2）先计算出∠ADB=45°，则△BED为等腰直角三角形，所以BE=DE=20，BD=20$\sqrt{2}$，在Rt△ACD中，利用∠A=30°得到CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（40+BC），即BC=$\sqrt{3}$CD-40，然后在Rt△BCD中利用勾股定理得到（$\sqrt{3}$CD-40）²+CD²=（20$\sqrt{2}$）²，再解关于CD的一元二次方程即可．

解答 解：（1）作BE⊥AD于E，如图，
在Rt△ABE中，∵∠A=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×40cm=20cm，
即点B到AD的距离为20cm；
（2）∵∠DBC=∠A+∠ADB，
∴∠ADB=75°-30°=45°，
∴△BED为等腰直角三角形，
∴BE=DE=20，BD=20$\sqrt{2}$，
在Rt△ACD中，∵∠A=30°，
∴CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（40+BC），
∴BC=$\sqrt{3}$CD-40，
在Rt△BCD中，∵BC²+CD²=BD²，
∴（$\sqrt{3}$CD-40）²+CD²=（20$\sqrt{2}$）²，
整理得CD²-20$\sqrt{3}$CD+200=0，解得CD=10$\sqrt{3}$+10或CD=10$\sqrt{3}$-10（舍去），
即线段CD的长为10$\sqrt{3}$+10．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决本题的关键是灵活运用勾股定理和三角函数的定义．